Rechtwinklige Dreiecke, Pythagoras - Rechner

Mit diesem Rechner lassen sich wichtige Werte eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Dafür werden der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz des Euklid, der Höhensatz des Euklid und die Definition vom Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken verwendet. Es lässt sich einstellen auf wie viele Nachkommastellen die Ergebnisse gerundet werden sollen. Der Rechner rechnet immer mit den gerundeten Werten weiter. Die Winkel lassen sich nicht auf bis zu 100 Nachkommastellen runden, weil für deren Berechnung die Standardfunktionen der verwendeten Programmiersprache genutzt werden.

Die erste Abbildung im Lösungskasten zeigt das berechnete Dreieck, bei dem die Größe zwar angepasst wurde, aber die Seitenverhältnisse gleich geblieben sind. Bei den Abbildungen in den Kästen für die Berechnung der einzelnen Werte handelt es sich um Symbolbilder, die komplett verschieden zum berechneten Dreieck aussehen können. Diese Bilder dienen nur der Veranschaulichung, welche Seiten und Winkel bei der Berechnung genutzt werden und welche berechnet werden sollen.

Formeln

Satz des Pythagoras	c² = a² + b²
Kathetensatz des Euklid	a² = c ∙ p b² = c ∙ q
Höhensatz des Euklid	h² = p ∙ q
Sinus	sin(α) = a c sin(β) = b c
Flächeninhalt	A = a ∙ b 2 A = c ∙ h 2
Umfang	U = a + b + c

Satz des Pythagoras

Bei einem rechtwinkligen Dreieck wird die Seite, die gegenüber vom rechten Winkel liegt, als Hypotenuse bezeichnet und die beiden Seiten, zwischen denen sich der 90°-Winkel befindet, werden Katheten genannt. Sehr häufig sind im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras a und b die Längen der beiden Katheten und c ist die Länge der Hypotenuse. Wenn dem der Fall ist, besagt der Satz des Pythagoras, dass die folgende Gleichung gilt:

Mit dieser Gleichung kann, wenn die Länge von 2 der 3 Seiten bekannt ist, die Länge der dritten Seite berechnet werden.

Länge der Hypotenuse berechnen:

Um c, also die Länge der Hypotenuse, zu berechnen, muss die Gleichung nach c aufgelöst werden. Dies wird erreicht, indem von beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen wird. Dann erhält man:

Beispiel:

Für die Seitenlängen der beiden Katheten gilt a = 5 und b = 3. Berechnet werden soll c.

c	=	a² + b²
	=	5² + 3²
	=	25 + 9
	=	34
	≈	5,83095189

Länge einer Kathete berechnen:

Angenommen die Seitenlängen c und b sind gegeben und es soll die Seitenlänge a berechnet werden. Dafür muss zuerst b² auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden und danach muss die Wurzel gezogen werden. Dann erhält man für a:

Wenn b berechnet werden soll, wird die Gleichung nach b aufgelöst:

Beispiel:

Als Beispiel sind b = 3 und c = 5 gegeben und es soll die Seitenlänge a berechnet werden. Dann rechnet man:

a	=	c² − b²
	=	5² − 3²
	=	25 − 9
	=	16
	=	4

Kathetensatz des Euklid

Für den Kathetensatz des Euklid wird die Hypotenuse in 2 Teilabschnitte aufgeteilt. Dafür wird die Höhe des Dreiecks eingezeichnet (Linie zwischen dem rechten Winkel des Dreiecks und der Hypotenuse, sodass der Winkel zwischen der Linie für die Höhe und der Hypotenuse des Dreiecks 90° beträgt). An der Stelle, an der die Linie für die Höhe auf die Hypotenuse trifft, liegt die Grenze zwischen den beiden Teilabschnitten. Die Länge des Abschnitts, welcher an die Kante mit der Länge a grenzt, wird normalerweise als p bezeichnet und die Länge des Abschnitts, welcher an die Kante mit der Länge b grenzt, wird normalerweise als q bezeichnet. Der Kathetensatz des Euklids sagt aus, dass die folgenden 2 Gleichungen gelten:

Zur Berechnung der Länge der Katheten rechnet man:

Zur Berechnung der Länge der Teilabschnitte rechnet man:

Wenn die Länge eines der beiden Teilabschnitte und wenn die Länge der Hypotenuse c bekannt ist, dann lässt sich die Länge des anderen Teilabschnitts mit der Hilfe der Gleichung c = p + q bestimmen.

Zur Berechnung der Länge der Hypotenuse c rechnet man:

Höhensatz des Euklid

Beim Höhensatz des Euklid werden die Höhe h und die beiden Teilabschnitte p und q der Hypotenuse c so eingezeichnet, wie auch beim Kathetensatz.

Der Höhensatz besagt nun, dass die folgende Gleichung gilt:

Wenn die Längen beider Teilabschnitte der Hypotenuse bekannt sind, dann lässt sich somit die Höhe bestimmen und wenn die Höhe vom Dreieck und die Länge eines der beiden Teilabschnitte der Hypotenuse bekannt ist, dann lässt sich die Länge des anderen Teilabschnitts berechnen.

Wenn p und q bekannt sind und man die Höhe berechnen möchte, dann rechnet man:

h = p ∙ q

Wenn die Höhe und die Länge eines der beiden Teilabschnitte bekannt ist, dann rechnet man zur Bestimmung der Länge des anderen Teilabschnitts:

Winkel

Bei einem rechtwinkligen Dreieck werden die beiden spitzen Winkel normalerweise α und β genannt und der 90°-Winkel γ. α und β haben jeweils eine Ankathete und eine Gegenkathete. Die Ankathete eines Winkels ist die Kathete, an der der Winkel anliegt und die Gegenkathete eines Winkels ist die Kathete, welche dem Winkel gegenüberliegt. Normalerweise wird die Länge der Gegenkathete von α a genannt und die Länge der Gegenkathete von β wird typischerweise b genannt.

Für den Sinus eines Winkels gilt:

Somit gilt für die beiden Winkel α und β:

Um die Gleichungen so umzuformen, dass auf der linken Seite nur der Winkel steht, muss auf beiden Seiten der Gleichung der Arkussinus (die Umkehrfunktion des Sinus) angewendet werden.

Wenn man den Winkel α oder β berechnet hat, lässt sich der andere Winkel ganz einfach mit der Hilfe der folgenden Gleichung berechnen: