Mit diesem Rechner lassen sich von einer Raute der Flächeninhalt, der Umfang, die Innenwinkel, die Längen der Diagonalen und der Inkreisradius berechnen. Es lässt sich auswählen, auf wie viele Nachkommastellen die Ergebnisse gerundet werden sollen und es wird immer mit den gerundeten Ergebnissen weitergerechnet.
Formeln
| Winkel |
α + β = 180°
γ = α, δ = β
|
||||||||
| Diagonalenlängen |
e = 2 ∙ a ∙ cos(
e = 2 ∙ a ∙ sin(
f = 2 ∙ a ∙ sin(
f = 2 ∙ a ∙ cos(
|
||||||||
| Umfang | U = 4 ∙ a | ||||||||
| Seitenlängen | a =
|
||||||||
| Höhe |
h = a ∙ sin(α)
|
||||||||
| Flächeninhalt |
A = a ∙ h
A =
|
||||||||
| Inkreisradius | ri =
|
Eine vollständigere Auflistung der Formeln zur Berechnung wichtiger Werte einer Raute befinden sich im Wikipedia-Artikel zu Rauten.
Was ist eine Raute?
Eine Raute (auch Rhombus genannt) ist ein Viereck, bei dem alle 4 Seiten die gleiche Länge haben. Gegenüberliegende Seiten einer Raute sind parallel zueinander und gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Innenwinkel einer Raute
Bei einer Raute sind gegenüberliegende Winkel gleich groß.
Bei einem Viereck ergibt die Summe der 4 Innenwinkel 360°. Es gilt also:
α + β + γ + δ = 360°
Bei einer Raute gilt γ = α und δ = β. Ersetzt man in der obigen Gleichung γ und δ, erhält man:
2 ∙ (α + β) = 360°
Wenn man jetzt noch beide Seiten durch 2 teilt, dann erhält man:
Mit der Hilfe dieser Formel und dem Wissen, dass gegenüberliegende Innenwinkel gleich groß sind, lassen sich, wenn ein Innenwinkel bekannt ist, die übrigen 3 Innenwinkel berechnen.
Beispiel:
Der Innenwinkel α einer Raute hat eine Größe von 40°. Ermittelt werden sollen die Winkel β, γ und δ.
Der Winkel β lässt sich wie folgt berechnen: β=180°−α=180°−40°=140°
Da γ = α und δ = β gilt, gilt für γ und δ:
γ = 40° und δ = 140°
Umfang einer Raute berechnen
Den Umfang eines Vierecks berechnet man, indem man Summe der Längen aller 4 Seiten bildet. Da bei einer Raute alle 4 Seiten die gleiche Länge haben, multipliziert man die Seitenlänge mit 4.
Beispiel:
Angenommen die Seiten einer Raute haben jeweils eine Länge von 3 cm. Dann wird der Umfang der Raute wie folgt berechnet:
| U | = | 4 ∙ a |
| = | 4 ∙ 3 cm | |
| = | 12 cm |
Länge der Diagonalen einer Raute
Die Längen e und f der Diagonalen einer Raute lassen sich mit der Hilfe der folgenden 4 Formeln berechnen:
Berechnung der Diagonalenlänge e:
| β |
| 2 |
| α |
| 2 |
Berechnung der Diagonalenlänge f:
| α |
| 2 |
| β |
| 2 |
Beispiel:
Die Seiten einer Raute sind jeweils 5 cm lang und für die Winkel α und β gilt α = 70° und β = 110°. Gesucht werden die Längen e und f der Diagonalen.
Berechnung von e:
| e | = | 2 ∙ a ∙ sin(
|
||
| = | 2 ∙ 5 cm ∙ sin(
|
|||
| = | 10 cm ∙ sin(55°) | |||
| ≈ | 8,1915 cm |
Berechnung von f:
| f | = | 2 ∙ a ∙ sin(
|
||
| = | 2 ∙ 5 cm ∙ sin(
|
|||
| = | 10 cm ∙ sin(35°) | |||
| ≈ | 5,7358 cm |
Herleitung:
| e |
| 2 |
| f |
| 2 |
Die beiden Diagonalen verlaufen genau in der Mitte der Winkel der Raute. Somit haben die spitzen Winkel der 4 Dreiecke die Größen
| α |
| 2 |
| β |
| 2 |
Für rechtwinklige Dreiecke sind der Sinus und der Kosinus für einen der spitzen Winkel wie folgt definiert:
| Gegenkathete |
| Hypotenuse |
| Ankathete |
| Hypotenuse |
| α |
| 2 |
| e |
| 2 |
| f |
| 2 |
| β |
| 2 |
| f |
| 2 |
| e |
| 2 |
Setzt man die Winkel und Längen in die Formeln für den Sinus und den Kosinus bei rechtwinkligen Dreiecken ein, erhält man die folgenden 4 Formeln:
- sin() =
β 2 ( )e 2 a - cos() =
α 2 ( )e 2 a - sin() =
α 2 ( )f 2 a - cos() =
β 2 ( )f 2 a
Wenn man die 4 Gleichungen nach e bzw. f auflöst, dann erhält man:
- e=2 ∙ a ∙ sin(
)β 2 - e=2 ∙ a ∙ cos(
)α 2 - f=2 ∙ a ∙ sin(
)α 2 - f=2 ∙ a ∙ cos(
)β 2
Seitenlänge mit Diagonalenlängen berechnen
Wenn von einer Raute die beiden Diagonalenlängen e und f bekannt sind, die Länge a der Seiten aber nicht, dann lässt sich a aus e und f berechnen. Dafür kann die folgende Formel genutzt werden.
| e² + f² |
| 2 |
Beispiel:
Die beiden Längen der Diagonalen einer Raute sind e = 4 cm und f = 3 cm. Berechnet werden soll die Seitenlänge a.
| a | = |
|
||
| = |
|
|||
| = |
|
|||
| = |
|
|||
| = |
|
|||
| = | 2,5 cm |
Herleitung:
| e |
| 2 |
| f |
| 2 |
Nach dem Satz des Pythagoras gilt somit:
| e |
| 2 |
| f |
| 2 |
Wenn man von beiden Seiten die Wurzel zieht und die rechte Seite vereinfacht, erhält man:
| a | = | (
|
||||
| = |
|
|||||
| = |
|
|||||
| = |
|
|||||
| = |
|
|||||
| = |
|
Höhe einer Raute berechnen
Die Höhe h einer Raute lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
Die Höhe kann dafür genutzt werden den Flächeninhalt oder den Radius vom Inkreis zu berechnen.
Herleitung:
Der Winkel α kann kleiner als 90°, 90° oder größer als 90° sein.
Fall α = 90°:
Der einfachste Fall ist, dass der Winkel α eine Größe von 90° hat. Dann handelt es sich bei der Raute um ein Quadrat. Wenn man 90° in die Formel für die Berechnung der Höhe einer Raute einsetzt, dann erhält man:
h = a ∙ sin(90°) = a ∙ 1 = a
a ist auch die Höhe eines Quadrats und somit stimmt die Formel für den Fall α = 90°.
Fall α < 90°:
Wenn man die Höhe h so einzeichnet, dass die Höhe in der Ecke D endet, dann entsteht dadurch ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse von diesem Dreieck ist a und die Gegenkathete von α ist die Höhe.
Für die spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
| Gegenkathete |
| Hypotenuse |
Wenn man α, a und h in diese Formel einsetzt, erhält man:
| h |
| a |
Wenn man dies nach h umformt, dann ergibt das:
h = a ∙ sin(α)
Fall α > 90°:
In dem Fall, dass α kleiner als 90° ist, kann man die Höhe h so einzeichnen, dass sie in der Ecke C endet. Dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Hypotenuse die Länge a hat und die Gegenkathete von β hat die Länge h.
Dies setzt man wieder in die Formel für den Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken ein:
| h |
| a |
Danach wird die Gleichung wieder nach h aufgelöst:
h = a ∙ sin(β)
Für einen Winkel, der kleiner oder gleich 180° ist, gilt:
sin(Winkel) = sin(180° - Winkel)
Außerdem gilt in einer Raute β = 180° − α. Dadurch lässt sich die obige Gleichung für die Höhe noch weiter umformen:
h = a ∙ sin(β) = a ∙ sin(180° − α) = a ∙ sin(α)
Flächeninhalt einer Raute berechnen
Der Flächeninhalt einer Raute lässt sich entweder mit der Hilfe der Höhe h oder mit der Hilfe der beiden Längen e und f der Diagonalen berechnen.
Berechnung mit der Hilfe der Höhe:
Wenn man die Höhe h dafür nutzen möchte den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen, dann muss man zuerst die Höhe mit der Formel für die Höhe berechnen:
Und danach multipliziert man die Höhe mit der Seitenlänge a:
Beispiel:
Die Seiten einer Raute haben jeweils eine Länge von 5 cm. Der Winkel α beträgt 60°. Berechnet werden soll der Flächeninhalt mit der Hilfe der Höhe der Raute:
Als erstes muss die Höhe h berechnet werden. Dafür wird die Seitenlänge a mit dem Sinus vom Winkel α multipliziert:
| h | = | a ∙ sin(α) |
| = | 5 cm ∙ sin(60°) | |
| ≈ | 4,33013 cm |
Das Ergebnis wird mit der Seitenlänge a multipliziert:
| A | = | a ∙ h |
| ≈ | 5 cm ∙ 4,33013 cm | |
| ≈ | 21,65065 cm |
Die beiden Schritte lassen sich auch in einen Schritt zusammenfassen. Dafür wird die Formel für die Höhe in die Formel für den Flächeninhalt eingesetzt:
Herleitung:
Wenn man die Höhe h so einzeichnet, dass das eine Ende in einer Ecke endet und das andere auf einer der Seiten, dann bildet sich innerhalb der Raute ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses lässt sich auf die andere Seite der Raute verschieben, wodurch sich ein Rechteck mit den Kantenlängen a und h bildet.
Dieses Rechteck hat den Flächeninhalt a ∙ h. Da dieses Rechteck und die Raute den gleichen Flächeninhalt haben, weil nur ein Teil der Raute verschoben wurde, gilt auch für den Flächeninhalt A der Raute A = a ∙ h
Berechnung mit den Längen der Diagonalen:
Wenn die Längen der beiden Diagonalen bekannt sind, dann lässt sich der Flächeninhalt berechnen, indem man die beiden Diagonalenlängen multipliziert und das Ergebnis halbiert:
| e ∙ f |
| 2 |
Beispiel:
Die Längen der Diagonalen einer Raute sind e = 2 cm und f = 4 cm. Berechnet werden soll der Flächeninhalt.
| A | = |
|
||
| = |
|
|||
| = |
|
|||
| = | 4 cm² |
Herleitung:
Wenn man in eine Raute die beiden Diagonalen einzeichnet, dann bilden sich innerhalb der Raute 4 rechtwinklige Dreiecke.
| f |
| 2 |
| f |
| 2 |
| e ∙ f |
| 2 |
| e ∙ f |
| 2 |
Inkreisradius einer Raute
Der Inkreis einer Raute ist ein Kreis, der innerhalb der Raute liegt und jede Seite der Raute an genau einer Stelle berührt. Der Inkreis hat seinen Mittelpunkt genau dort, wo auch die Raute ihren Mittelpunkt hat. Dies ist der Punkt, wo sich die beiden Diagonalen schneiden.
Die Höhe h ist so lang wie der Durchmesser vom Inkreis.
Somit gilt für den Inkreisradius ri:
| h |
| 2 |
Beispiel:
Die Seiten einer Raute haben jeweils eine Länge von 5 cm. Der Winkel α beträgt 60°. Berechnet werden soll der Inkreisradius:
Als erstes muss die Höhe h berechnet werden:
| h | = | a ∙ sin(α) |
| = | 5 cm ∙ sin(60°) | |
| ≈ | 4,33013 cm |
Danach wird die Höhe durch 2 geteilt, um den Inkreisradius zu erhalten:
| ri | = |
|
||
| ≈ |
|
|||
| ≈ | 2,165065 cm² |