Rauten - Rechner

Raute Eingabewerte
vorgegebene Werte:
= =
berechnete Werte:

Mit diesem Rechner lassen sich von einer Raute der Flächeninhalt, der Umfang, die Innenwinkel, die Längen der Diagonalen und der Inkreisradius berechnen. Es lässt sich auswählen, auf wie viele Nachkommastellen die Ergebnisse gerundet werden sollen und es wird immer mit den gerundeten Ergebnissen weitergerechnet.

Formeln

Raute mit wichtigen Variablen (Diagonalenlängen, Höhe, Winkel, Inkreisradius, Seitenlänge)
Winkel
α + β = 180°
γ = α, δ = β
Diagonalenlängen
e = 2 ∙ a ∙ cos(
α
2
)
e = 2 ∙ a ∙ sin(
β
2
)
f = 2 ∙ a ∙ sin(
α
2
)
f = 2 ∙ a ∙ cos(
β
2
)
UmfangU = 4 ∙ a
Seitenlängen
a =
e² + f²
2
Höhe
h = a ∙ sin(α)
Flächeninhalt
A = a ∙ h
A =
e ∙ f
2
Inkreisradius
ri =
h
2

Eine vollständigere Auflistung der Formeln zur Berechnung wichtiger Werte einer Raute befinden sich im Wikipedia-Artikel zu Rauten.

Was ist eine Raute?

Eine Raute (auch Rhombus genannt) ist ein Viereck, bei dem alle 4 Seiten die gleiche Länge haben. Gegenüberliegende Seiten einer Raute sind parallel zueinander und gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.

Raute mit Winkeln, Seitenlängen und beschrifteten Ecken

Innenwinkel einer Raute

Bei einer Raute sind gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Raute mit den Winkeln alpha, beta, gamma und delta

Bei einem Viereck ergibt die Summe der 4 Innenwinkel 360°. Es gilt also:

α + β + γ + δ = 360°


Bei einer Raute gilt γ = α und δ = β. Ersetzt man in der obigen Gleichung γ und δ, erhält man:

2 ∙ (α + β) = 360°


Wenn man jetzt noch beide Seiten durch 2 teilt, dann erhält man:

α+β=180°

Mit der Hilfe dieser Formel und dem Wissen, dass gegenüberliegende Innenwinkel gleich groß sind, lassen sich, wenn ein Innenwinkel bekannt ist, die übrigen 3 Innenwinkel berechnen.


Beispiel:

Der Innenwinkel α einer Raute hat eine Größe von 40°. Ermittelt werden sollen die Winkel β, γ und δ.

Raute, bei der alpha bekannt ist und beta, gamma und delta berechnet werden sollen

Der Winkel β lässt sich wie folgt berechnen: β=180°α=180°40°=140°

Da γ = α und δ = β gilt, gilt für γ und δ:

γ = 40° und δ = 140°

Umfang einer Raute berechnen

Den Umfang eines Vierecks berechnet man, indem man Summe der Längen aller 4 Seiten bildet. Da bei einer Raute alle 4 Seiten die gleiche Länge haben, multipliziert man die Seitenlänge mit 4.

U = 4 ∙ a


Beispiel:

Angenommen die Seiten einer Raute haben jeweils eine Länge von 3 cm. Dann wird der Umfang der Raute wie folgt berechnet:


U=4 ∙ a
 =4 ∙ 3 cm
 =12 cm

Länge der Diagonalen einer Raute

Raute mit eingezeichneten Diagonalen und den Winkeln alpha und beta

Die Längen e und f der Diagonalen einer Raute lassen sich mit der Hilfe der folgenden 4 Formeln berechnen:

Berechnung der Diagonalenlänge e:

e=2 ∙ a ∙ sin(
β
2
)
bzw.
e=2 ∙ a ∙ cos(
α
2
)

Berechnung der Diagonalenlänge f:

f=2 ∙ a ∙ sin(
α
2
)
bzw.
f=2 ∙ a ∙ cos(
β
2
)


Beispiel:

Die Seiten einer Raute sind jeweils 5 cm lang und für die Winkel α und β gilt α = 70° und β = 110°. Gesucht werden die Längen e und f der Diagonalen.

Raute, bei der die Seitenlängen und Winkel bekannt sind und die Diagonalenlängen berechnet werden sollen

Berechnung von e:

Raute, bei der die Seitenlängen und alpha bekannt sind und die Diagonalenlänge e berechnet werden soll
e=2 ∙ a ∙ sin(
β
2
)
 =2 ∙ 5 cm ∙ sin(
110°
2
)
 =10 cm ∙ sin(55°)
 8,1915 cm

Berechnung von f:

Raute, bei der die Seitenlängen und alpha bekannt sind und die Diagonalenlänge f berechnet werden soll
f=2 ∙ a ∙ sin(
α
2
)
 =2 ∙ 5 cm ∙ sin(
70°
2
)
 =10 cm ∙ sin(35°)
 5,7358 cm

Herleitung:

Die beiden Diagonalen einer Raute verlaufen im rechten Winkel zueinander. Wenn man in eine Raute die beiden Diagonalen mit den Längen e und f einzeichnet, dann unterteilen diese die Raute in 4 rechtwinklige Dreiecke. Von jedem der 4 rechtwinkligen Dreiecke hat die Hypotenuse die Länge a und die Katheten der Dreiecke haben die Längen
e
2
und
f
2
.
Die beiden Diagonalen verlaufen genau in der Mitte der Winkel der Raute. Somit haben die spitzen Winkel der 4 Dreiecke die Größen
α
2
und
β
2
.
Herleitung der Formeln zur Berechnung der Diagonalenlängen einer Raute

Für rechtwinklige Dreiecke sind der Sinus und der Kosinus für einen der spitzen Winkel wie folgt definiert:

sin(Winkel) =
Gegenkathete
Hypotenuse
und cos(Winkel) =
Ankathete
Hypotenuse

Vom Winkel mit der Größe
α
2
hat die Ankathete die Länge
e
2
und die Gegenkathete hat die Länge
f
2
. Vom Winkel mit der Größe
β
2
hat die Ankathete die Länge
f
2
und die Gegenkathete hat die Länge
e
2
.

Setzt man die Winkel und Längen in die Formeln für den Sinus und den Kosinus bei rechtwinkligen Dreiecken ein, erhält man die folgenden 4 Formeln:

  • sin(
    β
    2
    ) =
    (
    e
    2
    )
    a
  • cos(
    α
    2
    ) =
    (
    e
    2
    )
    a
  • sin(
    α
    2
    ) =
    (
    f
    2
    )
    a
  • cos(
    β
    2
    ) =
    (
    f
    2
    )
    a

Wenn man die 4 Gleichungen nach e bzw. f auflöst, dann erhält man:

  • e=2 ∙ a ∙ sin(
    β
    2
    )
  • e=2 ∙ a ∙ cos(
    α
    2
    )
  • f=2 ∙ a ∙ sin(
    α
    2
    )
  • f=2 ∙ a ∙ cos(
    β
    2
    )

Seitenlänge mit Diagonalenlängen berechnen

Wenn von einer Raute die beiden Diagonalenlängen e und f bekannt sind, die Länge a der Seiten aber nicht, dann lässt sich a aus e und f berechnen. Dafür kann die folgende Formel genutzt werden.

a =
e² + f²
2


Beispiel:

Die beiden Längen der Diagonalen einer Raute sind e = 4 cm und f = 3 cm. Berechnet werden soll die Seitenlänge a.


Aufgabe zur Berechnung der Seitenlänge mit Hilfe der Diagonalenlängen einer Raute
a=
e² + f²
2
 =
(4 cm)² + (3 cm)²
2
 =
16 cm² + 9 cm²
2
 =
25 cm²
2
 =
5 cm
2
 =2,5 cm


Herleitung:

Wenn man in eine Raute die Diagonalen e und f einzeichnet, dann wird die Raute in 4 gleich große rechtwinklige Dreiecke unterteilt. Von jedem dieser rechtwinkligen Dreiecke hat die Hypotenuse die Länge a und die beiden Katheten haben die Längen
e
2
und
f
2
.
Raute wird durch die Diagonalen in 4 gleich große rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt

Nach dem Satz des Pythagoras gilt somit:

a² = (
e
2
)² + (
f
2
)²

Wenn man von beiden Seiten die Wurzel zieht und die rechte Seite vereinfacht, erhält man:

a=
(
e
2
)² + (
f
2
)²
 =
4
+
4
 =
1
4
∙ (e² + f²)
 =
1
4
(e² + f²)
 =
1
4
(e² + f²)
 =
(e² + f²)
2

Höhe einer Raute berechnen

Raute mit eingezeichneter Höhe, Winkeln und Seitenlängen

Die Höhe h einer Raute lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

h = a ∙ sin(α)

Die Höhe kann dafür genutzt werden den Flächeninhalt oder den Radius vom Inkreis zu berechnen.


Herleitung:

Der Winkel α kann kleiner als 90°, 90° oder größer als 90° sein.


Fall α = 90°:

Quadrat mit eingezeichneter Höhe

Der einfachste Fall ist, dass der Winkel α eine Größe von 90° hat. Dann handelt es sich bei der Raute um ein Quadrat. Wenn man 90° in die Formel für die Berechnung der Höhe einer Raute einsetzt, dann erhält man:

h = a ∙ sin(90°) = a ∙ 1 = a

a ist auch die Höhe eines Quadrats und somit stimmt die Formel für den Fall α = 90°.


Fall α < 90°:

Wenn man die Höhe h so einzeichnet, dass die Höhe in der Ecke D endet, dann entsteht dadurch ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse von diesem Dreieck ist a und die Gegenkathete von α ist die Höhe.

Raute mit Höhe und alpha kleiner 90°

Für die spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

sin(Winkel) =
Gegenkathete
Hypotenuse

Wenn man α, a und h in diese Formel einsetzt, erhält man:

sin(α) =
h
a

Wenn man dies nach h umformt, dann ergibt das:

h = a ∙ sin(α)


Fall α > 90°:

In dem Fall, dass α kleiner als 90° ist, kann man die Höhe h so einzeichnen, dass sie in der Ecke C endet. Dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Hypotenuse die Länge a hat und die Gegenkathete von β hat die Länge h.

Raute mit Höhe und alpha größer 90°

Dies setzt man wieder in die Formel für den Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken ein:

sin(β) =
h
a

Danach wird die Gleichung wieder nach h aufgelöst:

h = a ∙ sin(β)

Für einen Winkel, der kleiner oder gleich 180° ist, gilt:

sin(Winkel) = sin(180° - Winkel)

Außerdem gilt in einer Raute β = 180° − α. Dadurch lässt sich die obige Gleichung für die Höhe noch weiter umformen:

h = a ∙ sin(β) = a ∙ sin(180° − α) = a ∙ sin(α)

Flächeninhalt einer Raute berechnen

Der Flächeninhalt einer Raute lässt sich entweder mit der Hilfe der Höhe h oder mit der Hilfe der beiden Längen e und f der Diagonalen berechnen.

Berechnung mit der Hilfe der Höhe:

Wenn man die Höhe h dafür nutzen möchte den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen, dann muss man zuerst die Höhe mit der Formel für die Höhe berechnen:

h = a ∙ sin(α)

Und danach multipliziert man die Höhe mit der Seitenlänge a:

A = a ∙ h


Beispiel:

Die Seiten einer Raute haben jeweils eine Länge von 5 cm. Der Winkel α beträgt 60°. Berechnet werden soll der Flächeninhalt mit der Hilfe der Höhe der Raute:

Aufgabe zur Berechnung des Flächeninhalts einer Raute mit der Hilfe der Höhe

Als erstes muss die Höhe h berechnet werden. Dafür wird die Seitenlänge a mit dem Sinus vom Winkel α multipliziert:

Aufgabe zur Berechnung der Höhe einer Raute mit der Hilfe von alpha und der Seitenlänge
h=a ∙ sin(α)
 =5 cm ∙ sin(60°)
 4,33013 cm

Das Ergebnis wird mit der Seitenlänge a multipliziert:

die Seitenlänge und die Höhe einer Raute sind bekannt und es soll der Flächeninhalt berechnet werden
A=a ∙ h
 5 cm ∙ 4,33013 cm
 21,65065 cm

Die beiden Schritte lassen sich auch in einen Schritt zusammenfassen. Dafür wird die Formel für die Höhe in die Formel für den Flächeninhalt eingesetzt:

A = a² ∙ sin(α)


Herleitung:

Wenn man die Höhe h so einzeichnet, dass das eine Ende in einer Ecke endet und das andere auf einer der Seiten, dann bildet sich innerhalb der Raute ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses lässt sich auf die andere Seite der Raute verschieben, wodurch sich ein Rechteck mit den Kantenlängen a und h bildet.

Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts einer Raute mit der Hilfe der Höhe

Dieses Rechteck hat den Flächeninhalt a ∙ h. Da dieses Rechteck und die Raute den gleichen Flächeninhalt haben, weil nur ein Teil der Raute verschoben wurde, gilt auch für den Flächeninhalt A der Raute A = a ∙ h

Berechnung mit den Längen der Diagonalen:

Wenn die Längen der beiden Diagonalen bekannt sind, dann lässt sich der Flächeninhalt berechnen, indem man die beiden Diagonalenlängen multipliziert und das Ergebnis halbiert:

A =
e ∙ f
2


Beispiel:

Die Längen der Diagonalen einer Raute sind e = 2 cm und f = 4 cm. Berechnet werden soll der Flächeninhalt.


Aufgabe zur Berechnung des Flächeninhalts einer Raute mit der Hilfe der Diagonalenlängen
A=
e ∙ f
2
 =
2 cm ∙ 4 cm
2
 =
8 cm²
2
 =4 cm²

Herleitung:

Wenn man in eine Raute die beiden Diagonalen einzeichnet, dann bilden sich innerhalb der Raute 4 rechtwinklige Dreiecke.

Raute mit eingezeichneten Diagonalen mit Diagonalenlängen e und f

Wenn man zum Beispiel die beiden Dreiecke unterhalb von der Diagonale mit der Länge e so verschiebt, dass sie zusammen mit den beiden anderen Dreiecken ein Rechteck bilden, dann bildet sich ein Rechteck mit den Seitenlängen e und
f
2
.
Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts einer Raute mit der Hilfe der Diagonalenlängen

Dieses hat den Flächeninhalt e ∙
f
2
=
e ∙ f
2
. Da zum Bilden des Rechtecks nur Teile der Raute verschoben wurden, gilt auch für den Flächeninhalt der Raute A =
e ∙ f
2
.

Inkreisradius einer Raute

Der Inkreis einer Raute ist ein Kreis, der innerhalb der Raute liegt und jede Seite der Raute an genau einer Stelle berührt. Der Inkreis hat seinen Mittelpunkt genau dort, wo auch die Raute ihren Mittelpunkt hat. Dies ist der Punkt, wo sich die beiden Diagonalen schneiden.

Raute mit Inkreis und Inkreisradius

Die Höhe h ist so lang wie der Durchmesser vom Inkreis.

die Höhe einer Raute ist der Durchmesser vom Inkreis der Raute

Somit gilt für den Inkreisradius ri:

ri =
h
2


Beispiel:

Die Seiten einer Raute haben jeweils eine Länge von 5 cm. Der Winkel α beträgt 60°. Berechnet werden soll der Inkreisradius:

Aufgabe zur Berechnung vom Inkreisradius einer Raute mit der Hilfe von der Seitenlänge und Winkel alpha

Als erstes muss die Höhe h berechnet werden:

Aufgabe zur Berechnung der Höhe einer Raute
h=a ∙ sin(α)
 =5 cm ∙ sin(60°)
 4,33013 cm

Danach wird die Höhe durch 2 geteilt, um den Inkreisradius zu erhalten:

Aufgabe zur Berechnung vom Inkreisradius einer Raute mit der Hilfe der Höhe
ri=
h
2
 
4,33013 cm
2
 2,165065 cm²

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