Parallelogramm - Rechner

Mit diesem Rechner lassen sich von einem Parallelogramm der Flächeninhalt, der Umfang, die Höhen und die Längen der Diagonalen berechnen. Es wird immer auch der Rechenweg mit angegeben. Es kann ausgewählt werden auf wie viele Nachkommastellen die berechneten Werte gerundet werden sollen und es wird immer mit den gerundeten Werten weiter gerechnet.

Um alle Werte eines Parallelogramms zu berechnen werden mindestens 3 Eingabewerte benötigt. Häufig möchte man aber nicht alle Werte berechnen, sondern nur einen bestimmten und dafür reichen häufig 2 Eingabewerte aus. Zum Beispiel lässt sich aus einer Seitenlänge und der dazugehörigen Höhe der Flächeninhalt berechnen. Deshalb ist es bei diesem Rechner auch möglich auszuwählen, dass nur 2 Eingabewerte angegeben werden sollen.

Formeln

Winkel	α + β = 180°
Höhen	ha = b ∙ sin(α) hb = a ∙ sin(β)
Flächeninhalt	A = a ∙ ha A = b ∙ hb
Umfang	U = 2 ∙ (a + b)
Diagonalenlängen	e = a² + b² − 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(β) e = a² + b² + 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(α) f = a² + b² − 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(α) f = a² + b² + 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(β)
Parallelogrammformel	e² + f² = 2 ∙ (a² + b²)

Eine vollständigere Auflistung der Formeln zur Berechnung wichtiger Werte eines Parallelogramms befinden sich im Wikipedia-Artikel zu Parallelogrammen.

Was ist ein Parallelogramm?

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel. Aufgrund von der Parallelität der gegenüberliegenden Seiten haben gegenüberliegende Seiten zusätzlich noch die gleiche Länge und gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.

In der obigen Abbildung sind die Seiten mit den Seitenlängen a und c gleich lang und parallel zueinander und die Seiten mit den Seitenlängen b und d sind gleich lang und parallel zueinander. Ausßerdem sind die Winkel α und γ gleich groß und die Winkel β und δ sind gleich groß.

Innenwinkel

Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt immer 360°. Da α = γ und β = δ gilt, muss die Summe von α und β 180° betragen.

Höhen

Wenn man von der Seite mit der Länge a eine Höhe h_a so einzeichnet, dass ein Ende der Höhe im Punkt C liegt (und gegebenenfalls noch eine Verlängerung von der Strecke AB einzeichnet), dann bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecke CB ist die Hypotenuse von diesem Dreieck und hat die Länge b. Der Winkel beim Punkt A ist entweder α oder β. Die Gegenkathete von diesem Winkel ist die Höhe h_a.

Für die spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

Für Winkel zwischen 0° und 180° gilt sin(Winkel) = sin(180° − Winkel). In einem Parallelogramm ergibt die Summe aus α und β 180°. Somit gilt β = 180° − α. Daraus folgt sin(β) = sin(180° − α) = sin(α). Somit gilt unabhängig davon, ob es sich bei dem Winkel im rechtwinkligen Dreieck bei der Ecke B um α oder β handelt:

Wenn man die Gleichung nun nach h_a auflöst, dann erhält man:

Äquivalent gilt für h_b:

Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen

Wenn man den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen möchte, dann wählt man eine Seite als Grundseite, berechnet die zu dieser Seite gehörende Höhe und multipliziert dann die Länge der Grundseite mit der dazugehörigen Höhe.

Für Den Flächeninhalt gilt:

Beispiel:

Als Beispiel soll der Flächeninhalt von einem Parallelogramm mit den Seitenlängen a = 4 cm und b = 3 cm und dem Winkel α = 70° berechnet werden.

Mit h_a:

Zuerst wird die Höhe h_a berechnet.

ha	=	b∙sin(α)
	=	3 cm∙sin(70°)
	≈	2,819078 cm

Danach wird mit der Hilfe von h_a der Flächeninhalt berechnet.

A	=	a∙ha
	≈	4 cm∙2,819078 cm
	=	11,276312 cm²

Mit h_b:

Jetzt soll der Flächeninhalt nochmal berechnet werden. Diesmal mit der Hilfe der Höhe h_b. Zuerst wird die Höhe h_b berechnet.

hb	=	a∙sin(α)
	=	4 cm∙sin(70°)
	≈	3,758770 cm

Danach wird mit der Hilfe von h_b der Flächeninhalt berechnet.

A	=	b∙ha
	≈	3 cm∙3,758770 cm
	=	11,27631 cm²

Umfang eines Parallelogramms berechnen

Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen, muss die Summe aller 4 Seiten gebildet werden. Für ein Parallelogramm mit den Seitenlängen a und b gilt somit:

Die 2 lässt sich noch ausklammern:

Längen der Diagonalen

Eine Diagonale eines Parallelogramms ist die Strecke von einer Ecke des Parallelogramms zur gegenüberliegenden Ecke. Die Länge der Diagonale mit den Endpunkten A und C wird häufig als e bezeichnet und die Länge der Diagonale mit den Endpunkten B und D als f.

Die Länge der Diagonale e lässt sich mit den folgenden Gleichungen berechnen:

und

Die Länge der Diagonale f lässt sich mit den folgenden Gleichungen berechnen:

und

Beispiel:

Ein Parallelogramm hat die Seitenlängen a = 4 cm und b = 3 cm und für den Winkel α gilt wieder α = 70°. Berechnet werden sollen die Längen der beiden Diagonalen e und f.

Berechnung von e:

e	=	a² + b² + 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(α)
	=	(4 cm)² + (3 cm)² + 2 ∙ 4 cm ∙ 3 cm ∙ cos(70°)
	=	16 cm² + 9 cm² + 2 ∙ 4 cm ∙ 3 cm ∙ cos(70°)
	=	25 cm² + 24 cm² ∙ cos(70°)
	≈	5,76268 cm

Berechnung von f:

f	=	a² + b² − 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(α)
	=	(4 cm)² + (3 cm)² − 2 ∙ 4 cm ∙ 3 cm ∙ cos(70°)
	=	16 cm² + 9 cm² − 2 ∙ 4 cm ∙ 3 cm ∙ cos(70°)
	=	25 cm² − 24 cm² ∙ cos(70°)
	≈	4,09775 cm

Parallelogrammgleichung

Wenn man die Länge einer der beiden Diagonalen berechnet hat, kann man die Länge der anderen Diagonale auch mit der sogenannten Parallelogrammgleichung ausrechnen. Die Parallelogrammgleichung lautet:

Wenn man f schon berechnet hat und e ausrechnen möchte, dann löst man die Gleichung nach e auf:

Und wenn man e schon berechnet hat und als nächstes f berechnen möchte, dann formt man die Parallelogrammgleichung nach f um: