Kreissektor, Kreisbogen, Kreissehne - Rechner

Mit diesem Rechner lassen sich Kreissektoren, Kreissegmente, Kreisbögen, Kreissehnen, Segmenthöhen und die zu den Kreissektoren und Kreissegmenten zugehörigen Umfänge berechnen.

Formeln

Durchmesser	d = 2 ∙ r
Kreissektor	ASektor = π ∙ r² ∙ α 360° ASektor = d² 4 ∙ π ∙ α 360°
Kreisbogen	b = r ∙ π ∙ α 180° b = d 2 ∙ π ∙ α 180°
Kreissehne	s = 2 ∙ r ∙ sin( α 2 ) s = d ∙ sin( α 2 )
Segmenthöhe	h = s 2 ∙ tan( α 2 )
Flächeninhalt Dreieck	Wenn α ≤ 180°: ADreieck = s ∙ ( r − h ) 2 Wenn α > 180°: ADreieck = s ∙ ( h − r ) 2
Kreissegment	Wenn α ≤ 180°: ASegment = ASektor − ADreieck Wenn α > 180°: ASegment = ASektor + ADreieck
Umfang Kreissektor	USektor = 2 ∙ r + b
Umfang Kreissegment	USegment = s + b

Kreissektor und Kreisbogen

Ein Kreissektor (auch Kreisausschnitt genannt) ist eine Teilfläche der Fläche eines Kreises. Begrenzt wird ein Kreissektor durch einen Teil der Kreislinie und 2 Radien (Strecken, die vom Mittelpunkt des Kreises bis zu jeweils einem Punkt auf der Kreislinie verlaufen). Der Teil der Kreislinie wird Kreisbogen genannt und den Winkel zwischen den beiden Radien nennt man Mittelpunktswinkel.

Häufig ist der Mittelpunktswinkel kleiner oder gleich 180°, aber er kann auch größer als 180° sein.

Kreissektoren berechnen:

Um den Flächeninhalt von einem Kreis zu berechnen, kann man die folgende Formel benutzen: A = π ∙ r²

Kreisbögen berechnen:

Wenn man den Umfang von einem Kreis berechnen möchte, dann kann man die folgende Formel benutzen: U = 2 ∙ π ∙ r

Dies lässt sich noch vereinfachen:

Kreissehne

Die Strecke, welche die beiden Enden eines Kreisbogens miteinander verbindet, nennt man Kreissehne.

Die Länge s der Kreissehne lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Kreissegment und Segmenthöhe

Als Kreissegment wird die Fläche bezeichnet, die vom Kreisbogen und der Kreissehen begrenzt wird.

Wenn der Mittelpunktswinkel kleiner oder gleich 180° ist, dann ist das Kreissegment eine Teilfläche vom Kreissektor. Wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann gehört zusätzlich zum gesamten Kreissektor noch ein Dreieck, welches nicht Teil des Kreissektors ist, zum Kreissegment.

In beiden Fällen entsprechen von 2 Seiten des Dreiecks die Seitenlängen dem Radius des Dreiecks und die dritte Seite ist die Kreissehne.

Den Abstand des Punkts, der in der Mitte der Kreissehne liegt, von dem Punkt, der in der Mitte des Kreisbogens liegt, nennt man Segmenthöhe (bzw. Sagitta). Die Segmenthöhe kann dazu genutzt werden das Kreissegment zu berechnen.

Wenn der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, dann ist die Segmenthöhe kleiner als der Radius. Wenn der Mittelpunktswinkel 180° beträgt, dann entspricht die Segmenthöhe dem Radius und wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann ist die Segmenthöhe größer als der Radius.

Segmenthöhe berechnen:

Wenn s die Länge der Kreissehne ist und α der Mittelpunktswinkel, dann gilt für die Segmenthöhe h:

Kreissegment berechnen:

Fall α < 180°:

Wenn der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, dann besteht der Kreissektor aus dem Kreissegment und einem Dreieck.

Um das Kreissegment zu berechnen, kann man somit zuerst den Kreissektor und den Flächeninhalt vom Dreieck berechnen (wie der Flächeninhalt vom Dreieck berechnet wird steht weiter unten) und dann zieht man vom Kreissektor den Flächeninhalt vom Dreieck ab.

Fall α > 180°:

Wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann gehört das Dreieck nicht zum Kreissektor. Das Kreissegment besteht in diesem Fall aus dem Kreissektor und dem Dreieck.

In diesem Fall werden der Kreissektor und der Flächeninhalt vom Dreieck addiert, um das Kreissegment zu berechnen.

Flächeninhalt vom Dreieck berechnen:

Fall α < 180°:

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man, indem man die Länge einer Grundseite mit der dazugehörigen Höhe multipliziert und das Ergebnis durch 2 teilt. In diesem Fall ist die Kreissehne die Grundseite und die Höhe ist die Differenz vom Radius und der Segmenthöhe.

Wenn r der Radius, s die Länge der Kreissehne und h die Segmenthöhe ist und wenn der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, dann gilt:

Fall α > 180°:

Wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann ist die Segmenthöhe die Summe aus dem Radius vom Kreis und der Höhe vom Dreieck (wobei die Kreissehne als Grundfläche angesehen wird). Die Höhe vom Dreieck ist somit die Differenz von der Segmenthöhe und dem Radius.

Wenn r der Radius, s die Länge der Kreissehne und h die Segmenthöhe ist und wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann gilt:

Umfang vom Kreissektor

Ein Kreissektor ist durch den Kreisbogen und 2 Strecken, deren Länge jeweils dem Radius entsprechen, begrenzt. Wenn r der Radius ist und b die Länge des Kreisbogens, dann gilt für den Umfang U_Sektor:

Umfang vom Kreissegment

Ein Kreissegment wird durch einen Kreisbogen und eine Kreissehne begrenzt. Wenn b die Länge des Kreisbogens ist und s die Länge der Kreissehne, dann gilt für den Umfang des Kreissegments: