Kreissektor, Kreisbogen, Kreissehne - Rechner

die Abbildung zeigt an, welche Variablen für die Eingaben ausgewählt sind
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vorgegebene Werte:
= =
berechnete Werte:

Mit diesem Rechner lassen sich Kreissektoren, Kreissegmente, Kreisbögen, Kreissehnen, Segmenthöhen und die zu den Kreissektoren und Kreissegmenten zugehörigen Umfänge berechnen.

Formeln

wichtige Variablen bei einem Kreissektor (Kreisbogen, Kreissehne, Segmenthöhe)
Kreissektor
Kreissektor, der in ein Kreissegment und ein Dreieck aufgeteilt ist
Durchmesser d = 2 ∙ r
Kreissektor
ASektor = π ∙ r² ∙
α
360°
ASektor =
4
∙ π ∙
α
360°
Kreisbogen
b = r ∙ π ∙
α
180°
b =
d
2
∙ π ∙
α
180°
Kreissehne
s = 2 ∙ r ∙ sin(
α
2
)
s = d ∙ sin(
α
2
)
Segmenthöhe
h =
s
2
∙ tan(
α
4
)
Flächeninhalt Dreieck
Wenn α ≤ 180°:
ADreieck =
s ∙ ( r − h )
2
Wenn α > 180°:
ADreieck =
s ∙ ( h − r )
2
Kreissegment
Wenn α ≤ 180°:
ASegment = ASektor − ADreieck
Wenn α > 180°:
ASegment = ASektor + ADreieck
Umfang Kreissektor
USektor = 2 ∙ r + b
Umfang Kreissegment
USegment = s + b

Kreissektor und Kreisbogen

Ein Kreissektor (auch Kreisausschnitt genannt) ist eine Teilfläche der Fläche eines Kreises. Begrenzt wird ein Kreissektor durch einen Teil der Kreislinie und 2 Radien (Strecken, die vom Mittelpunkt des Kreises bis zu jeweils einem Punkt auf der Kreislinie verlaufen). Der Teil der Kreislinie wird Kreisbogen genannt und den Winkel zwischen den beiden Radien nennt man Mittelpunktswinkel.

Kreissektor mit Kreisbogen, Mittelpunktswinkel und Radien

Häufig ist der Mittelpunktswinkel kleiner oder gleich 180°, aber er kann auch größer als 180° sein.

Kreissektor mit 280°-Winkel

Kreissektoren berechnen:

Um den Flächeninhalt von einem Kreis zu berechnen, kann man die folgende Formel benutzen: A = π ∙ r²

Wenn ein Kreissektor berechnet werden soll, dann muss der Flächeninhalt des gesamten Kreises mit dem Anteil des Kreissektors am gesamten Kreis multipliziert werden. Wenn zum Beispiel der Mittelpunktswinkel 90° beträgt, dann beträgt der Anteil vom Kreissektor am Flächeninahlt vom gesamten Kreis
1
4
(bzw.
90
360
). Oder wenn der Mittelpunktswinkel 45° beträgt, dann hat der Kreissektor einen Anteil von
1
8
(bzw.
45
360
) am gesamten Kreis. Allgemein gilt, dass ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel α einen Anteil von
α
360°
am gesamten Kreis hat. Somit gilt für den Kreissektor:

ASektor = π ∙ r² ∙
α
360°

Kreisbögen berechnen:

Wenn man den Umfang von einem Kreis berechnen möchte, dann kann man die folgende Formel benutzen: U = 2 ∙ π ∙ r

Wenn ein Kreisbogen berechnet werden soll, dann multipliziert man den Umfang vom Kreis mit dem Anteil des Kreisbogens am gesamten Kreis. Wenn zum Beispiel der Mittelpunktswinkel 90° beträgt, dann macht der Kreisbogen
1
4
(bzw.
90
360
) der gesamten Kreislinie aus. Somit muss der Umfang mit
1
4
multipliziert werden. Allgemein wird der Anteil wieder mit
α
360°
berechnet.

Für die Länge b vom Kreisbogen gilt somit: b = 2 ∙ r ∙ π ∙
α
360°

Dies lässt sich noch vereinfachen:

b = r ∙ π ∙
α
180°


Kreisbogen eines Kreissektors

Kreissehne

Die Strecke, welche die beiden Enden eines Kreisbogens miteinander verbindet, nennt man Kreissehne.

Kreissehne in Kreissektor

Die Länge s der Kreissehne lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

s = 2 ∙ r ∙ sin(
α
2
)

Kreissegment und Segmenthöhe

Als Kreissegment wird die Fläche bezeichnet, die vom Kreisbogen und der Kreissehen begrenzt wird.

Kreissegment, Kreissehen, Kreisbogen

Wenn der Mittelpunktswinkel kleiner oder gleich 180° ist, dann ist das Kreissegment eine Teilfläche vom Kreissektor. Wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann gehört zusätzlich zum gesamten Kreissektor noch ein Dreieck, welches nicht Teil des Kreissektors ist, zum Kreissegment.

Kreissegment mit Winkel größer 180°

In beiden Fällen entsprechen von 2 Seiten des Dreiecks die Seitenlängen dem Radius des Dreiecks und die dritte Seite ist die Kreissehne.


Den Abstand des Punkts, der in der Mitte der Kreissehne liegt, von dem Punkt, der in der Mitte des Kreisbogens liegt, nennt man Segmenthöhe (bzw. Sagitta). Die Segmenthöhe kann dazu genutzt werden das Kreissegment zu berechnen.

Kreissegment mit Segmenthöhe

Wenn der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, dann ist die Segmenthöhe kleiner als der Radius. Wenn der Mittelpunktswinkel 180° beträgt, dann entspricht die Segmenthöhe dem Radius und wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann ist die Segmenthöhe größer als der Radius.

Segmenthöhe bei Winkel über 180°

Segmenthöhe berechnen:

Wenn s die Länge der Kreissehne ist und α der Mittelpunktswinkel, dann gilt für die Segmenthöhe h:

h =
s
2
∙ tan(
α
4
)

Kreissegment berechnen:

Fall α < 180°:

Wenn der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, dann besteht der Kreissektor aus dem Kreissegment und einem Dreieck.

Aufteilung eines Kreissektors in Kreissegment und Dreieck

Um das Kreissegment zu berechnen, kann man somit zuerst den Kreissektor und den Flächeninhalt vom Dreieck berechnen (wie der Flächeninhalt vom Dreieck berechnet wird steht weiter unten) und dann zieht man vom Kreissektor den Flächeninhalt vom Dreieck ab.

ASegment = ASektor - ADreieck

Fall α > 180°:

Wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann gehört das Dreieck nicht zum Kreissektor. Das Kreissegment besteht in diesem Fall aus dem Kreissektor und dem Dreieck.

Aufteilung Kreissegment in Kreissektor und Dreieck

In diesem Fall werden der Kreissektor und der Flächeninhalt vom Dreieck addiert, um das Kreissegment zu berechnen.

ASegment = ASektor + ADreieck


Flächeninhalt vom Dreieck berechnen:

Fall α < 180°:

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man, indem man die Länge einer Grundseite mit der dazugehörigen Höhe multipliziert und das Ergebnis durch 2 teilt. In diesem Fall ist die Kreissehne die Grundseite und die Höhe ist die Differenz vom Radius und der Segmenthöhe.

Dreieck eines Kreissektors für die Berechnung des Kreissegments

Wenn r der Radius, s die Länge der Kreissehne und h die Segmenthöhe ist und wenn der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, dann gilt:

ADreieck =
s ∙ ( r − h )
2

Fall α > 180°:

Wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann ist die Segmenthöhe die Summe aus dem Radius vom Kreis und der Höhe vom Dreieck (wobei die Kreissehne als Grundfläche angesehen wird). Die Höhe vom Dreieck ist somit die Differenz von der Segmenthöhe und dem Radius.

das Dreieck ist Teil des zu berechnenden Kreissegments

Wenn r der Radius, s die Länge der Kreissehne und h die Segmenthöhe ist und wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, dann gilt:

ADreieck =
s ∙ ( h − r )
2

Umfang vom Kreissektor

der Umfang eines Kreissektors wird berechnet, indem Radien und Kreisbogen aufsummiert werden

Ein Kreissektor ist durch den Kreisbogen und 2 Strecken, deren Länge jeweils dem Radius entsprechen, begrenzt. Wenn r der Radius ist und b die Länge des Kreisbogens, dann gilt für den Umfang USektor:

USektor = 2 ∙ r + b

Umfang vom Kreissegment

der Umfang eines Kreissegments wird berechnet, indem Kreisbogen und Kreissehne addiert werden

Ein Kreissegment wird durch einen Kreisbogen und eine Kreissehne begrenzt. Wenn b die Länge des Kreisbogens ist und s die Länge der Kreissehne, dann gilt für den Umfang des Kreissegments:

USegment = b + s


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