Mit diesem Rechner lassen sich von einem gleichseitigen Dreieck die Höhe, der Flächeninhalt, der Umfang, der Inkreisradius und der Umkreisradius berechnen.
Formeln
| Höhe | ha =
|
||||
| Flächeninhalt | A =
|
||||
| Umfang | U = 3 ∙ a | ||||
| Inkreisradius | ri =
|
||||
| Umkreisradius | ru =
|
Seitenlängen und Winkel
Ein gleichseitiges Dreieck ist, wie der Name schon sagt, ein Dreieck, bei dem alle 3 Seiten die gleiche Länge haben. Außerdem handelt es sich bei allen 3 Innenwinkeln um 60°-Winkel.
Höhen
In einem gleichseitigen Dreieck haben alle 3 Höhen die gleiche Länge. Es gilt also ha = hb = hc. Häufig wird die Länge der 3 Höhen h genannt und der Buchstabe, zu welcher Seite die Höhe gehört, weggelassen.
Die Höhe h wird wie folgt berechnet:
| 3∙a |
| 2 |
Beispiel:
Die Seiten von einem gleichseitigen Dreieck sind jeweils 4 cm lang. Ausgerechnet werden soll die Höhe.
| ha | = |
|
||
| = |
|
|||
| = | 3∙2 cm | |||
| ≈ | 3,46410 cm |
Flächeninhalt
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man, indem man eine Seite als Grundseite auswählt, die Länge der Grundseite mit der dazugehörigen Höhe multipliziert und das Ergebnis durch 2 teilt.
Wenn man die Seite mit der Seitenlänge a als Grundseite wählt und ha die dazugehörige Höhe ist, dann berechnet man den Flächeninhalt wie folgt:
| a∙ha |
| 2 |
Man kann den Flächeninhalt, wenn die Seitenlänge bekannt ist, auch direkt berechnen, ohne vorher die Höhe zu berechnen. Dafür setzt man die Formel für die Höhe in die Gleichung ein. Dann erhält man:
a∙
| ||
| 2 |
Dies lässt sich noch vereinfachen:
| 3∙a² |
| 4 |
Beispiel:
Alle 3 Seiten von einem Dreieck haben eine Seitenlänge von jeweils 4 cm. Gesucht ist der Flächeninhalt.
| A | = |
|
||
| = |
|
|||
| = |
|
|||
| = | 3∙4 cm² |
|||
| ≈ | 6,92820 cm² |
Alternativ könnte der Flächeninhalt auch mit der Hilfe der Höhe vom Dreieck berechnet werden. Diese wurde im Beispiel aus dem Kapitel Höhen berechnet und beträgt ungefähr 3,46410 cm.
| A | = |
|
||
| ≈ |
|
|||
| = | 2 cm∙3,46410 cm | |||
| = | 6,92820 cm² |
Umfang
Um den Umfang von einem Dreieck zu berechnen, müssen die Längen der 3 Seiten zusammenaddiert werden. Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle 3 Seiten die gleiche Länge haben, rechnet man bei gegebener Seitenlänge a:
Beispiel:
Die Seitenlängen eines gleichseitigen Dreiecks betragen wieder 4 cm. Ausgerechnet werden soll diesmal der Umfang.
U=3∙a=3∙4 cm=12 cm
Inkreis
Ein Inkreis von einem Dreieck ist der Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und jede Seite des Dreiecks an genau einer Stelle berührt. Bei einem gleichseitigen Dreieck liegen diese Berührungspunkt genau in der Mitte der Seiten.
In einem Dreieck liegt der Mittelpunkt vom Inkreis dort, wo sich die 3 Winkelhalbierenden schneiden. In einem gleichseitigen Dreieck schneiden sich in diesem Punkt auch die 3 Höhen.
Der Inkreisradius lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
| a |
| 2∙3 |
Umkreis
Ein Umkreis von einem Dreieck ist ein Kreis, dessen Kreislinie jede Ecke des Dreiecks berührt.
Der Mittelpunkt vom Umkreis eines Dreiecks liegt dort, wo sich die 3 Mittelsenkrechten der 3 Seiten schneiden.
In einem gleichseitigen Dreieck liegt dieser Punkt, genau so wie beim Inkreis, dort, wo sich die 3 Höhen schneiden.
Der Umkreisradius lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
| a |
| 3 |