gleichschenklige Dreiecke - Rechner

Mit diesem Rechner lassen sich von einem gleichschenkligen Dreieck die Winkel, die Höhen, der Flächeninhalt, der Umfang, der Inkreisradius und der Umkreisradius berechnen. Es kann ausgewählt werden auf wie viele Nachkommastellen die berechneten Werte gerundet werden sollen und es wird immer mit den gerundeten Werten weiter gerechnet.

Formeln

Höhen	ha=hb= c 2∙a ∙4∙a²−c² hc= 4∙a²−c² 2
Winkel	γ=180°−2∙α α=β=arcsin( hc a )
Flächeninhalt	A= a∙ha 2 A= c∙hc 2 A= a²∙sin(γ) 2
Umfang	U=2∙a+c
Inkreisradius	ri= c∙hc 2∙a+c
Umkreisradius	ru= a 2∙sin(α) ru= c 2∙sin(γ) ru= a² 4∙a²−c²

Eine vollständigere Auflistung der Formeln zur Berechnung wichtiger Werte eines gleichschenkligen Dreiecks befinden sich im Wikipedia-Artikel zu gleichschenkligen Dreiecken.

Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens 2 Seiten die gleiche Länge haben. Üblicherweise werden die Längen der beiden gleich langen Seiten als a und b bezeichnet, wobei a = b gilt. Die Länge der dritten Seite wird normalerweise als c bezeichnet. Der Winkel gegenüber von der Seite mit der Seitenlänge c wird normalerweise γ genannt und die anderen beiden Winkel α und β.

Höhen

Die beiden Höhen h_a und h_b haben in einem gleichschenkligen Dreieck die gleiche Länge. Wenn sich die Seitenlänge c von a und b unterscheidet, dann unterscheidet sich auch die Höhe h_c von den Höhen h_a und h_b.

Die Höhe h_c unterteilt das gleichschenklige Dreieck in 2 rechtwinklige Dreiecke. Die Seitenlängen und die Winkel beider Dreiecke sind gleich groß.

Berechnung der Höhen:

Die Höhe h_a lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Die Höhe h_b entspricht h_a.

Zur Berechnung von h_c kann die folgende Formel verwendet werden:

Beispiel:

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Seitenlängen a = 5 cm, b = 5 cm und c = 4 cm. Berechnet werden sollen die Höhen.

ha	=	c 2∙a ∙4∙a²−c²
	=	4 cm 2∙5 cm ∙4∙(5 cm)²−(4 cm)²
	=	4 cm 10 cm ∙4∙25 cm²−16 cm²
	=	0,4∙100 cm²−16 cm²
	=	0,4∙84 cm²
	≈	3,66606 cm

h_b=h_a≈3,66606 cm

hc	=	4∙a²−c² 2
	=	4∙(5 cm)²−(4 cm)² 2
	=	84 cm² 2
	≈	4,58258 cm

Winkel

Der Winkel γ (Gamma) liegt zwischen den beiden gleich langen Seiten (bzw. gegenüber von der Seite mit der Länge c). Wenn es sich bei dem gleichschenkligen Dreieck nicht auch um ein gleichseitiges Dreieck handelt, dann unterscheidet sich γ von den beiden Winkeln α und β. Die beiden Winkel α und β sind hingegen gleich groß. Die Summe der 3 Innenwinkel beträgt 180°. Da die beiden Winkel α und β gleich groß sind gilt:

Wenn der Winkel γ bekannt ist und man den Winkel α berechnen möchte, dann kann man die Gleichung nach α auflösen.

Beispiel:

Es ist bekannt, dass der Winkel γ eines gleichschenkligen Dreiecks 40° beträgt. Gesucht sind α und β.

α	=	180°−γ 2
	=	180°−40° 2
	=	140° 2
	=	70°

Da α und β gleich groß sind, gilt auch β = 70°.

Die Winkel α und β sind jeweils kleiner als 90°. Der Winkel γ kann auch größer als 90° sein, ist aber kleiner als 180°.

c mit der Hilfe von γ berechnen:

Wenn man in das obige gleichschenklige Dreieck die Höhe h_c einzeichnet, dann wird das gleichschenklige Dreieck in 2 rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt, welche die gleichen Seitenlängen und gleich große Winkel haben. Da a = b und α = β gilt, wurden in der folgenden Abbildung b und β durch a und α ersetzt.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt für die spitzen Winkel:

Formt man dies nach c um erhält man:

Diese Formel kann genutzt werden, wenn die Länge der beiden gleich langen Seiten und der Winkel γ bekannt sind und die Seitenlänge c berechnet werden soll.

γ mit der Hilfe der Seitenlängen berechnen:

Wenn die Seitenlängen bekannt sind und der Winkel γ berechnet werden soll, dann kann man obige Formel nach γ auflösen und erhält:

α mit der Hilfe von a und h_c berechnen:

Die Gegenkathete von α ist h_c und die Hypotenuse ist a. Somit gilt:

Löst man dies nach α auf erhält man:

Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks

Von jedem Dreieck lässt sich der Flächeninhalt berechnen, indem man sich eine Seite als Grundseite auswählt, diese mit der dazugehörigen Höhe multipliziert und das Ergebnis durch 2 teilt. Es gilt also:

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 2 cm, b = 2 cm und c = 3 cm. Berechnet werden soll der Flächeninhalt.

Zuerst wird eine der Höhen berechnet. In diesem Beispiel wird sich für die Höhe h_c entschieden.

hc	=	4∙a²−c² 2
	=	4∙(2 cm)²−(3 cm)² 2
	=	7 cm² 2
	≈	1,3229 cm

Danach wird h_c in die Formel für die Berechnung vom Flächeninhalt eingesetzt:

A	=	c∙hc 2
	≈	3 cm∙1,3229 cm 2
	=	3,9687 cm² 2
	=	1,98435 cm²

Flächeninhalt mit der Hilfe von γ berechnen:

Wenn nur der Winkel γ und die Seitenlänge a bekannt sind, lässt sich trotzdem der Flächeninhalt berechnen. Dafür kann die folgende Formel genutzt werden:

Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks

Den Umfang eines Dreiecks berechnet man, indem man die Summe der Längen der 3 Seiten bildet. a und b haben die gleiche Länge. Also gilt:

Inkreisradius

Ein Inkreis von einem Dreieck ist ein Kreis, der innerhalb vom Dreieck liegt und jede Seite vom Dreieck an genau einer Stelle berührt. Bei einem gleichschenkligen Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c, wobei a = b und a ≠ c gilt, berührt der Inkreis die Seite mit der Länge c genau in der Mitte. Die Seiten mit den Längen a und b werden hingegen an einer anderen Stelle als der Mitte berührt.

Der Inkreisradius lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Umkreisradius

Der Umkreis von einem Dreieck ist ein Kreis, dessen Kreislinie durch jede der 3 Ecken verläuft. Wenn einer der Winkel bekannt ist, dann lässt sich der Umkreisradius mit einer der folgenden Formeln berechnen:

Es kann aber auch die folgende Formel zur Berechnung vom Umkreisradius verwendet werden: